Justification de la méthode

Exercice

On rappelle que la fonction  \(f\) est croissante et convexe sur l'intervalle \([a;b]\) . On note  \(c\) la solution de l'équation \(f(x)=0\)  sur l'intervalle \([a;b]\) .

1. Quel est le sens de variations de la suite  \((a_n)\) ?
2. En utilisant la convexité et la croissance de la fonction \(f\) , justifier que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(a_n  \leqslant c\) .
3. En déduire la convergence de la suite \((a_n)\) .

Remarque

Bien que l'on établisse la convergence de la suite  \((a_n)\) construite à l'aide de la méthode de la fausse position, rien n'assure dans les hypothèses que la limite soit bien la solution de l'équation  \(f(x)=0\) qu'on recherche !

Par ailleurs, même si on obtient une valeur approchée de cette solution, on n'a pas la possibilité de contrôler la précision de cette approximation.